Povrch a objem těles
1. Urči velikost třetí hrany kvádru, je-li povrch 255 cm2, a = 12 cm, b = 2,5 cm.
[ 6,7 cm ]
2. Záhon dlouhý 18m a široký 5m byl zalit 80 desetilitrovými konvemi. Kolik milimetrů musí napršet, aby byl záhon stejně zavlažen jako po tomto zalití ?
[ 9 mm ]
3. Z krychle o hraně 6 cm byla vysoustruhována koule o poloměru 3 cm. Vypočítej, kolik procent byl odpad.
[
asi 47,7 % ]
4. Kolik metrů čtverečných plechu je třeba na zhotovení 30 m okapových rour tvaru válce o průměru 10 cm, když počítáme s 5 % odpadem ?
[ 9,9 m2
]
5. Kolik metrů ocelového drátu o průměru 0,4 cm a hustotě 7 800 kg/m3 je v kotouči o hmotnosti 1,17 kg ?
[
12m ]
6. Nákladní auto o nosnosti 5 t má ložnou plochu o rozměrech 3,9 m, 2,1 m. Do jaké výše může naložit mokrý písek, je-li hmotnost 1m3 mokrého písku 2 000 kg ?
[ 0,3
m ]
7. Jak vysoko bude hladina vody v akváriu tvaru kvádru o rozměrech dna 7,5 m, 3 m za 0,8 hodiny, jestliže za 1 s přiteče 10 litrů vody ?
a. 1,28
m ]
8. Krychle má hmotnost 81,2 kg a hustotu 0,7 kg/m3. Vypočítej její povrch.
a. 142,89
dm3 ]
9. Nádrž tvaru krychle má objem 640 hl. Vypočítej délku hrany nádrže.
[ a = 40 dm ]
10. Vypočítej tělesovou úhlopříčku krychle o hraně 8 cm. Počítej s přesností na milimetry.
[ut = 13,9 cm ]
11. Kvádr o hranách 10 cm, 8 cm má stejný objem jako krychle o hraně 1 dm. Vypočítej třetí rozměr kvádru. Porovnej poměrem povrchy obou těles.
12. Do nádrže tvaru kvádru o rozměrech 12m, 6m a hloubce 2m bylo napuštěno 288 hl vody. Kolik procent objemu nádrže voda zaujímala ?
[ 20 % ]
13. Vypočítej hranu podstavy pravidelného šestibokého hranolu, jehož výška je rovna hraně podstavy a objem je 152 dm3.
[ a = 3,87 dm ]
14. Nádrž má tvar kvádru o rozměrech dna 24 cm, 12 cm. Výška vody v nádrži je 20 cm. Vypočítej objem tělesa, které se do vody potopilo, jestliže voda stoupla o 3 cm.
[ 864 cm3
]
15. Hranol s kosočtvercovou podstavou má jednu úhlopříčku podstavy 20 cm a hranu podstavy 26 cm. Hrana podstavy je k výšce hranolu v poměru 2 : 3. Vypočítej objem hranolu.
[ 18 720 cm3
]
16. Podstava kolmého trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou 5 cm. Obsah největší stěny pláště je 130 cm2 a výška tělesa je 10 cm. Vypočítej objem tělesa.
[ V = 300 cm3 ]
17. Válcová roura má délku 1,5 m, vnější průměr 60 cm, vnitřní 52 cm. Vypočítej hmotnost roury, je-li hustota materiálu 2g/cm3.
[ m = 211 kg ]
18. Silniční násep má příčný řez tvaru rovnoramenného lichoběžníku o základnách 10 m, 16 m, ramena délky 5 m. Kolik m3 zeminy je v náspu o délce 400 m ?
[ V = 20 800 m3
]
19. Válcová nádrž pojme 60 hl vody a je hluboká 2,5 m. Vypočítej průměr nádrže.
[ d = 1,7 m]
20. Kolik litrů kapaliny je v nádrži tvaru rotačního válce, který je položen a má průměr podstavy 0,4 m a délku 0,8 m a je naplněn do poloviny ?
[ 50,2 l ]
21. Nádoba tvaru válce má průměr podstavy 0,8 m a obsah podstavy je roven obsahu pláště. Kolik celých litrů vody se vejde do nádoby ?
[ 100 l ]
22. Odlitek tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu o hraně podstavy 60 cm a výšce 5 cm má hustotu 7,8 g / cm3. Vypočítej jeho hmotnost.
m = 46,8 kg]
23. Obvod věže tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu je 48 m, tělesová výška 2,5 m. Vypočítej cenu plechu na pokrytí, stojí-li m2 30 Kč a počítá-li se s 12 % na spoje a záhyby ?
[ 5 241,60 Kč ]
24. Střecha tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu má výšku 8 m a podstavnou hranu 4 m. Kolik procent připadlo na záhyby, jestliže se na její pokrytí spotřebovalo 75,9 m2 plechu ?
[15,7 %]
25. Kolik procent tvoří odpad, jestliže z krychle o hraně 8 cm je vysoustruhován válec s maximálním objemem ?
21 %
26. Do kvádru se čtvercovou podstavou o hraně 20 cm a výšce 50 cm je vyvrtán válcový otvor o průměru dna 12 cm. Otvor prochází středy podstav. Vypočítej objem a povrch takto vzniklého tělesa.
[V=14 348 cm3, S = 6 457,92
cm2]
27. Kuželovitá nádoba s průměrem 60 cm a stranou 50 cm je zaplněna vodou. Vodu přelijeme do válcové nádoby o poloměru 30cm, výšce 20 cm. Kolik litrů je třeba dolít, aby nádoba byla zaplněna ?
[18,8 l]
28. Střecha tvaru kužele má průměr podstavy 80 cm, výšku 60 cm. Kolik potřebujeme barvy na její natření, jestliže je třeba 1 kg na 1 m2 ?
[0,91 kg]
29. Kuželovitá nádoba o poloměru 20 cm a hloubce 36 cm byla zaplněna vodou. Voda byla přelita do válce o poloměru podstavy 12 cm. Jak vysoko bude voda ve válci ?
[33,3 cm]
30. 800 kg brambor zaujímá m3. Kolik tun brambor bude na hromadě tvaru kužele o průměru 6 m a výšce 3 m ?
[22,6 t]
31. Podstavou kolmého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou 5 cm, přeponou 13 cm. Výška je rovna obvodu podstavy. Vypočítej povrch a objem.
[S=960 cm2,
V=900 cm3]
32. Vypočítej objem a povrch jehlanu, jehož podstava je obdélník: a = 3 dm, b = 4 dm, délka boční hrany c = 7 dm.
[V=26 dm3,
S=59,2 dm]
33. Vypočítej objem pravidelného trojbokého jehlanu, podstavné i boční hrany mají délku 3 cm.
[V=3,12 cm3]
34. Kolik litrů vzduchu je pod střechou hradní věže tvaru pravidelného šestibokého jehlanu s hranou podstavy 3 m, výškou 2 m, jestliže podpůrné sloupy zaujímají 8 % objemu prostoru pod střechou ?
[V=14 352 l]
35. Vypočítej objem a povrch pravidelného trojbokého jehlanu s podstavnou hranou a = 3 cm, výškou v = 5 cm.
[S=15,6 cm2, V=6,5 cm3]
36. Vypočítej objem a povrch rotačního kužele s poloměrem podstavy r = 3 cm a výškou v = 4 cm.
[V=37,68 cm3,
S=75,36 cm2]
37. Vypočítej objem a povrch rotačního kužele: r = 3 cm, s = 5,6 cm.
[S=60,288 cm2, V=30,144 cm3]
39. Kolik m2 je potřeba na pokrytí střechy tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu s podstavou délky a = 3,2 m a tělesovou výškou v = 1,2 m ?
12,8 m2 (str.95)
40. Vypočítej povrch kvádru, který má objem 15 dm3 a jehož hrany jsou v poměru 3 : 5 : 8.
39,5 dm2 (str.96)
41. Kvádr o hranách délek 10 cm a 8 cm má stejný objem jako krychle o hraně délky 1 dm. Vypočítej třetí rozměr kvádru. Porovnej poměrem povrchy obou těles.
12,5 cm; 61 : 60 (str.97)
42. Podstavou kolmého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou a = 5 cm a přeponou c = 1,3 dm. Výška hranolu se rovná obvodu podstavy. Urči povrch a objem hranolu.
V = 900 cm3, S = 960 cm2 (str.99)
43. Do nádrže tvaru kvádru, jehož podstava má rozměry 9m a 6 m, bylo napuštěno 405 hl vody. Tím se naplnilo 15 % objemu nádrže. Urči hloubku nádrže.
5 m
44. Střecha rekreační montované chaty má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu s délkou podstavné hrany 8 m a výškou 0,9 m. Kolik čtverečných metrů lepenky je třeba celkem k pokrytí střechy, počítá-li se 10 % na překlady a odpad ?
72,16 m2
45. Je dán kvádr ABCDEFGH o rozměrech: | AB | = a = 8 cm, | BC | = b = 8 cm, | BF | = c = 12 cm.
a) Urči délku lomené čáry HZB, kde Z je střed hrany AE.
20 cm
b) Urči obsah trojúhelníku BXF, kde X je střed FG.
24 cm2
c) Kolik procent objemu uvedeného kvádru tvoří objem kvádru s polovičními hranami ?
12,5 %
46. Silniční násep má délku 400 m a příčný řez tvaru rovnoramenného lichoběžníku se základnami 16 m a 10 m a výškou 4 m.
a) Kolik m3 zeminy je v náspu ? 20 800 m3
b) Kolik m2 měří jeho zatravněné boky ?
4 000 m2
47. Skleněná nádrž tvaru kvádru má rozměry dna 40 cm a 20 cm.Výška vody v nádrži je 25cm.
a) Vypočti objem tělesa, které se do vody zcela potopilo, jestliže voda stoupla o 4,5 cm.
b) Kolik litrů vody je v nádrži ?
3,6 dm3; 20 l
48. Bazén ve tvaru kvádru o rozměrech dna 25 m a 15 m byl naplněn vodou dvěma rourami 20 cm pod okraj za 7,5 hodiny. První rourou přitékalo 10 litrů za sekundu a druhou 9 hl za minutu. Kolik čtvercových dlaždic o hraně 10 cm bylo třeba k obložení dna a stěn bazénu ?
53 500 dlaždic (str. 34)
49. Vodní nádrž má tvar kvádru. Jeden rozměr dna je 6m, největší vzdálenost dvou rohů na dně je 10 m. Hloubka nádrže je 3,5 m. Přívodem přitéká 32 litrů za sekundu. Za kolik hodin se nádrž naplní, jestliže je v ní už 240 hl vody ?
1 h 15 minut
50. Podstavou trojbokého dutého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s délkou přepony 3,4 dm a s jednou odvěsnou 16 cm. Výška hranolu je dvěma pětinami obvodu tohoto trojúhelníku. Vypočti povrch tohoto hranolu a urči v litrech s přesností na jedno desetinné místo, kolik vody je v tomto hranolu uzavřeno, jestliže je naplněno 85 % dutiny ( tloušťku stěn neuvažuj ).
S = 3 040 cm2; 6,5 l
51. Podstavou kolmého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami délek 6 cm a 8 cm. Objem hranolu je 0,72 dm3. Urči povrch hranolu.
S = 768 cm2
52. Podstavou kolmého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s jednou odvěsnou 8 cm. Výška hranolu je 4 cm, obsah nejmenší stěny pláště je 24 cm2. Urči objem a povrch hranolu.
V = 90 cm3; S = 150 cm2
53. Jaká je výška válce o průměru 1 metr, jestliže po naplnění vodou ze 65 % je v něm 1531 litrů vody ?
3 m
54. Vypočítej povrch krychle, je-li její tělesová úhlopříčka u = 8 cm.
S = 128 cm2
55. Pravidelný čtyřboký hranol má výšku v = 41 cm a objem V = 19,844 litru. Vypočti povrch hranolu.
45,76 dm2
56. Hranol s podstavou kosočtverce má jednu úhlopříčku podstavy 20 cm a hranu podstavy 26 cm. Hrana podstavy je k výšce hranolu v poměru 2 : 3. Vypočti objem hranolu.
18,7 dm3
57. Podstava čtyřbokého jehlanu je obdélník s jedním rozměrem 2,4 dm a délkou úhlopříčky 0,25 m. Výška jehlanu je 3 dm. Urči jeho povrch. ( Výpočty zaokrouhli na dvě desetinná místa ).
11,18 dm2
58. Podstava kolmého trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník ABC s odvěsnou a = 50 mm a přeponou c = 0,13 m. Výška hranolu se rovná obvodu podstavy. Vypočti:
a) povrch hranolu
960 cm2
b) objem hranolu
900 cm3
59. Pláště dvou válců vznikly svinutím téhož obdélníku o rozměrech 12 dm a 50 cm. Který z válců má větší povrch a o kolik ?
S výškou 50 cm o 18,6 dm2
60. Jaká je výška válce o průměru 1 m, jestliže po naplnění vodou ze 65 % je v něm 1 531 litrů vody ?
3 m
61. Bazén má tvar kvádru s podstavou délky 20 m a šířky 10 m a s hloubkou 2 m.
a) Kolik m2 obkladaček je třeba na obložení dna a stěn bazénu ?
b) Za jak dlouho se bazén naplní tak, aby byla hladina vody vzdálena 10 cm od horního okraje bazénu, jestliže jediným přívodem vody přitéká do bazénu 1,9 hl vody za minutu ?
320 m2; 33 h 20 min
62. Podzemní zásobník na naftu má tvar pravidelného šestibokého hranolu, jehož nejdelší tělesová úhlopříčka má délku 5 m a délka nejdelší úhlopříčky podstavy je 4 m. Má v něm být uskladněno 54 000 litrů nafty. Kolik procent objemu nádrže ještě zbude volného ?
63. Uprostřed válcové nádrže s průměrem dna 2,8 m roste rákos, který ční nad vodou délkou 28 cm. Nakloníme-li stéblo rákosu, dosáhne jeho konec hladiny vody právě u okraje nádrže. Vypočítej hloubku nádrže a délku rákosu.
3,36 m; 3,64 m
64. Kolik tun sena se vejde na půdu stodoly 12 m dlouhé a 8 m široké, když výška trojúhelníkového štítu je 3,5 m ? 1 m3 lisovaného sena má hmotnost 105 kg. Z bezpečnostních důvodů může být prostor zaplněn jen do tří čtvrtin.
13,23 t
65. Bazén je dlouhý 25 m, široký 10 m a hluboký 1,5 m.
a) Kolik
m3 vody je zapotřebí k jeho úplnému naplnění ?
375 m3
b) V jaké výšce bude hladina, napustíme-li do něj 1 500 hl vody ?
0,6 m
c) Kolik by stálo nové obložení dna a stěn, stojí-li 1m2 obkladu 200 Kč ?
206 000 Kč
66. Ocelový drát váží
7,8 kg, má průměr 2 mm a hustotu r = 7 800 
. Jakou má délku ?
318,5 m
67. Kvádr s obdélníkovou podstavou o rozměrech 21 cm a 28 cm má výšku 84 cm. Vypočítej:
a) velikost úhlopříčky podstavy
u = 35 cm
b) velikost tělesové úhlopříčky
ut = 91 cm
c) povrch kvádru ( uveď jej v m2 )
S = 0,94 m2
d) objem kvádru ( uveď jej v litrech )
68. Bazén tvaru kvádru
o rozměrech dna 12 m a 25 m je hluboký 2 m. Bazén se napouští dvěma rourami.
První rourou přitéká 3,6 hektolitru vody za minutu, druhou 4 litry vody za
sekundu.Za kolik hodin a minut bude bazén naplněn na
své hloubky ?
69. Kolik nákladních aut o rozměrech ložní plochy 3,8 m a 2,2 m a výšce naložení 0,8 m potřebujeme, abychom jimi přivezenou zeminou vytvořili násep s příčným řezem rovnoramenného lichoběžníku se základnami 8 m a 5 m s ramenem dlouhým 2,5 m při délce náspu 10 m ?
20 aut
70. Vodní nádrž tvaru
kvádru má rozměry dna 7,5 m a 3 m. Jak vysoko bude sahat voda v nádrži,
jestliže přiteče 10 litrů za sekundu a přítok bude otevřen 
hodiny ?
1,28 m
71. Jaký objem má prostor pod střechou domu 150 dm dlouhého a 8 m širokého, je-li výška trojúhelníkového štítu v = 350 cm ?
210 m3
72. Roura má délku 1,5
m. Její vnější průměr je 60 cm, vnitřní průměr je 52 cm. Vypočítej hmotnost
roury, je-li hustota materiálu, z něhož je roura zhotovena, 2 
. Výsledek zaokrouhli
na kilogramy.
211 kg
73. Do jaké výše sahá voda v nádrži tvaru rotačního válce o poloměru podstavy r = 6 m, natéká-li 3 hodiny rychlostí 2 litry za sekundu ? Výšku zaokrouhli na celé centimetry.
19 cm
74. Krychle o hustotě
2 100 
má hmotnost 134,4 g.
Urči velikost hrany krychle v centimetrech.
a = 4
cm
75. Kvádr o hranách délek 10 cm a 8 cm má stejný objem jako krychle o hraně délky 1 dm. Vypočítej třetí rozměr kvádru. Porovnej poměrem povrchy obou těles.
12,5 cm; 61 : 60 (str.97)
76. Marie a Klára mají kornout na zmrzlinu ve tvaru kužele. Tento kornout rozdělí uprostřed na dvě části. Marie dostane horní část a Klára spodní. Kolikrát více dostane Marie než Klára ?
7 krát
více zmrzliny
77. 17 litrů petroleje má hmotnost 14,025 kilogramu. Jaká je hustota petroleje v g/cm3 ? Vejde se 16,5 kilogramu petroleje do kanystru o objemu 20 litrů ?
ano (
přesně 16,5 kg )
78. V rotačním kuželi se zdvojnásobil poloměr podstavy a výška se zmenšila na polovinu. Jak se změnil objem tohoto kužele vzhledem k původnímu ?
Zdvojnásobil se
79. Z vadného potrubí uniklo do potoka 18,8 kg nafty o hustotě 940 kg/m3. Zachycená nafta vytvořila na hladině potoka vrstvu 0,8 mm tlustou. Jaký je obsah hladiny potoka, který byl znečištěn ?
25 m2
80. Automobil má spotřebu benzinu 7 litrů na 100 km. Hustota benzinu je 0,7 g/cm3. Kolik litrů kyslíku spotřebuje automobil při ujetí 10 km, jestliže pro shoření 1 g benzinu je třeba 2,5 litru kyslíku ?
1 225 l ( str.34 )
