Podobnost

 

Dva útvary jsou podobné, jestliže poměry délek všech dvojic odpovídajících si stran se rovnají témuž číslu k > 0.

k > 1 zvětšení

k < 1 zmenšení

k = 1 shodnost Shodnost je zvláštním případem podobnosti.

 
 

 

 

 

 

 

 

 


DABC ~ DA´BĆ´ «

                                              « . . . právě tehdy

 
         

 

 

DABC ~ DA´BĆ

 

 

Shodují-li se dva trojúhelníky v poměru délek odpovídajících si stran, jsou podobné.

                                                        ( věta sss )

 

Shodují-li se dva trojúhelníky ve dvou úhlech, jsou podobné.

                                                                                                                          ( věta  uu )

 

Shodují-li se dva trojúhelníky v poměru délek dvou dvojic odpovídajících si stran a v úhlu jimi sevřeném, jsou podobné.

                                                                                                                         ( věta sus )

 

Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovny poměry délek dvou dvojic odpovídajících si stran a shodují-li se v úhlu proti odpovídající straně, jsou podobné.

                                                                                                                                      ( ssu, uss )

 

Jestliže má trojúhelník délky stran v určitém poměru, pak ve stejném poměru má délky stran trojúhelník k němu podobný.

                                       DABC ~ DA´BĆ´ « a : b : c = á :b´: c´

 

 

Podobnost trojúhelníků

 


DABC; a = 4cm, b = 3cm, c = 5 cm

DÁ´BĆ´; á = 6cm, b´= 4,5 cm, c´= 7,5 cm

 

 


          c                 b                                                                             

 

 

            a

 

 


                                                                                          á                                                               

 

 

1.      Zjisti, zda jsou obdélníky ABCD a KLMN podobné:

a)      êAB ê =7 cm,  êBC ê= 4 cm;      êKL ê= 10,5 cm, êLM ê= 6 cm

b)      êAB ê = 15 m, êBC ê = 22,5 cm       êKL ê= 30 m, êLM ê= 20 m

c)      êAB ê= 36 dm, êBC ê= 21 dm         êKL ê= 1,4 m, êLM ê= 2,8 m

ano; k = 1,5 (str.144)

2.      Urči, které dvojice trojúhelníků ABC a A´BĆ´ jsou podobné:

 

a)      a = 75 mm, b = 48 mm, c = 42 mm      á = 2,5 cm, b´= 1,6 cm, c´= 1,4 cm

ano; k =  (str.144)

b)      a = 18 cm, b = 9 cm, c = 12 cm      á = 30 cm, b´= 15 cm, c´= 18 cm

ne (str.144)

3.      V trojúhelnících ABC a KLM s úhly a, b, g, k, l ,m     platí:

 

a)      a= 600, b = 450, m = 750, l = 450                                                      C                   M

                                                                            DCAB ~DMKL          

b)      a= 1030, b = 380,  l = 380, k = 400

ne

c)      a= 840 30´, b = 560 15´, m = 390 15´,  l = 560 15´     A                      B

                                        DABC~DKLM (str.144)                       K              L

Zjisti, zda jsou tyto  trojúhelníky  podobné, v kladném případě jejich podobnost zapiš

( pozor na pořadí odpovídajících vrcholů ).

 

4.      DEFG  ~ DRST. Vypočítej délky zbývajících stran:

 

a)      g = 13,5 cm, f = 21 cm, t = 4,5 cm, r = 5cm

e = 15 cm; s = 7 cm (str.144)

b)      e = 125 mm, g = 75mm, r = 75 mm, s = 30 mm

t = 45 mm; f = 50 mm (str.144)

5.      D ABC  ~ D A´B´C´, k = 2,5. V jakém poměru jsou obvody těchto trojúhelníků ?

k = 2,5

6.      Zapiš dvojice podobných trojúhelníků ( pozor na pořadí vrcholů ) a urči, podle kterých vět jsou podobné.

 

D ABC;     êAB ê= 75 mm, êAC ê=60 mm, a = 650

D OPQ;         êPO ê=7,5 cm, ê< OPQ ê= 650, êPQ ê= 4,5 cm  

D RST;      êTR ê= 3,6 cm, êTS ê= 4,5 cm, ê< RTS ê= 65 0

DCAB ~ DRTS (sus)  (str.145)

7.      D ABC ~ D A´B´C´; a = 6,4 cm, b = 9 cm, c = 8 cm, c´= 3 cm.               á = ?, b ´= ?

k = ; á = 2,4 cm; b´= 3,4 cm (str.145)

 

8.      Rozhodni, zda jsou trojúhelníky podobné, je-li dáno:

a = 36020´, b = 72050´, b´= 70050´, g´= 36020´              

ano (str.145)

 

 

 

 

 

 

 

9.      V trojúhelníku ABC ( a = 36 mm, b = 48 mm, c = 51 mm ) je narýsována příčka EF êêAB tak, že obvod  D EFC je třetinou obvodu D ABC. Vypočítej strany D EFC.

     C

                                                                                                                                       

 


                                   E                     F


 

                                                                    

 

A                             B   

 

   êEF ê= 17 mm,  êFC ê= 12 mm, êECê= 16 mm (str.145)

10.  Zjisti, zda trojúhelníky ABC a A´B´C´jsou podobné;

a = 40 mm, b = 48 mm, c = 32 mm       á = 50 mm, b´= 60 mm, c´= 40 mm                     

ano; k = 1,25 (str.145)

11.  V trojúhelníku ABC o stranách  êAB ê= 12 cm, êBC ê= 9 cm, êCA ê=15 cm je narýsována příčka  êEF ê= 4 cm rovnoběžně se stranou AB. Vypočítej obvod trojúhelníku EFC.

o = 12 cm (str.145)

12.  Na katastrální mapě s měřítkem 1 : 1000 je zakreslen obdélníkový pozemek o rozměrech 4,2 cm a 5,8 cm. Jaký je obsah tohoto pozemku ve čtverečních metrech ?

2 436 m2 (str.145)

13.  Strom vrhá stín 18 m v okamžiku, kdy stín metrové tyče má délku 162 cm. Vypočítej výšku stromu za předpokladu, že světelné sluneční paprsky jsou rovnoběžné a zemský povrch, na nějž dopadají, je vodorovný.

11,11 m (str.145)

14.  V lichoběžníku ABCD ( AB  êêCD ) je E průsečík úhlopříček. Vypočítej délky úhlopříček, jestliže  êAB ê= 126 mm, êCD ê= 105 mm, êAE ê= 72 mm, êBE ê= 66 mm.

êAC ê= 132 mm;  êBD ê= 121 mm (str.146)

15.  Zjisti, zda jsou trojúhelníky podobné: a = 85cm, b = 100cm, c = 48cm, á = 127,5cm, b´= =150cm, c´= 72cm.

ano; k = 1,5

16.  Trojúhelník ABC je podobný trojúhelníku A´BĆ´, poměr podobnosti k = 1,5 cm. Vypočítej strany a´, b´, c´, jestliže platí: a = 8 cm, b = 10 cm, c = 6 cm.

á =12cm; b´= 15 cm; c´= 9 cm

17.  Trojúhelník ABC je podobný trojúhelníku A´BĆ´: a = 9 cm, b = 15 cm, c = 12 cm, a´= 6 cm. Vypočítej strany b´, c´.

b´= 10 cm; c´= 8 cm

18.  Zjisti, zda jsou trojúhelníky podobné:

a)      a = 8,6 dm, b = 8 dm, c = 3,8 dm        b)  a´= 129 cm, b´= 120 cm, c´= 57 cm

ano; k=1,5

19.  Trojúhelník ABC je podobný trojúhelníku A´BĆ´, poměr podobnosti k = 2,5. Vypočítej délky stran a´, b´, c´, jestliže platí: a = 7 cm, b = 9 cm, c = 4 cm.

á = 17,5cm; b´=22,5cm; c´= 10cm

20.  Trojúhelník ABC je podobný trojúhelníku A´BĆ´: a = 18 cm, b = 21 cm, c = 12 cm, b´= 7 cm. Vypočítej délky stran a´, c´.

á = 6cm; c´=4cm 

 

 

 

 

Redukční úhel

 

Př.: Sestroj D ABC; a = 6 cm, b = 10 cm, c = 8 cm. Zmenši ho v poměru 3 : 4

 

 


                                                                             D A´VA ~ D B´VB    ( uu )

                                                                                g @ g   

                                                                                a = b          oba jsou rovnoramenné

 

                       

 

 

 

             g              a                    b

 


       V    1    2    3    A    5    6    7    B    9    10

 

 

 


21.         Pětiúhelník ABCDE zmenši v poměru 3 : 5

a = 89 mm, b = 43 mm, c = 55 mm, d = 66 mm,e = 48 mm, êACê=110 mm, êADê=´80 mm

 

22.    Pomocí redukčního úhlu délky úseček změňte v poměru k =.

a = 2,5 cm, b = 4,4 cm, c = 6,2 cm

 

23.    Narýsuj libovolný trojúhelník ABC. K tomuto trojúhelníku pomocí redukčního úhlu    sestroj podobný trojúhelník A´B´C´, jehož strana c´= 7 cm.

 

24.    Sestroj trojúhelník KLM, který má velikosti stran k = 5 cm, l = 6 cm, m = 7 cm. Sestroj dále trojúhelník NOP, který je podobný s trojúhelníkem KLM a má obvod 27 cm.

 

25.    Narýsuj libovolný trojúhelník a pomocí redukčního úhlu jej zmenši v poměru k = .

 

26.    Narýsuj libovolný trojúhelník a pomocí redukčního úhlu jej zvětši v poměru k = .

 

27.    Trojúhelník ABC má strany délek a = 5,2 cm, b = 48 mm, c = 60 mm. K trojúhelníku ABC sestroj podobný trojúhelník A/B/C/, jehož obvod o´má délku 13,5 cm.

 

28.  Sestroj trojúhelník ABC; c = 66 mm, b = 40o, g = 70o a pomocí redukčního úhlu ho zmenši v poměru 3 : 5.

 

29.  Sestroj trojúhelník ABC; a = 50mm, b = 36mm, c = 55mm a pomocí redukčního úhlu ho zvětši v poměru 7 : 5.

 

30.  Je dán trojúhelník ABC: a = 60 mm, b = 42 mm, c = 84 mm. Pomocí redukčního úhlu jej zvětši v poměru k =

 

31.  Je dán trojúhelník ABC: a = 105 mm, b = 90 mm, c = 65 mm. Pomocí redukčního úhlu jej zmenši v poměru k =

 

32.  Sestroj trojúhelník ABC: a = 98 mm, b = 63 mm, c = 78 mm a pomocí redukčního úhlu ho zmenši v poměru 3 : 5.

 

33.  Sestroj trojúhelník ABC: a = 4 cm, b = 3 cm, c = 6 cm a pomocí redukčního úhlu ho zvětši v poměru 4 : 3.

 

34.  D ABC; a = 4 cm, b = 5 cm, c = 7 cm. Pomocí redukčního úhlu sestroj podobný trojúhelník A´B´C´, jestliže platí:  a) á = 48 mm              b)  k = 0,8

 

35.  Úsečky délek a = 5 cm, b = 6,2 cm změň v poměru :

a) k =               b)  k =               c)  k = 0,4

 

36.  Sestroj úsečku AB; êAB ê= 5 cm

a)   zmenši ji v poměru  3 : 8              b)  zvětši ji v poměru 8 : 6

 

37.  Je dán trojúhelník ABC; a = 6 cm, b = 4 cm, c = 5 cm. Sestroj trojúhelník podobný; když á = 9 cm.

 

38.  K trojúhelníku ABC; c = 6 cm, a = 530, b = 480 sestroj podobný trojúhelník A´B´C´, je-li poměr podobnosti k

a) k =              b)  k  = 1,3

 

39.  Sestroj trojúhelník KLM, který má velikosti stran k = 5 cm, l = 6 cm, m = 7 cm. Sestroj dále trojúhelník NOP, který je podobný s trojúhelníkem KLM a má obvod 27 cm.

 

40.  Narýsuj libovolný trojúhelník a pomocí redukčního úhlu jej zmenši v poměru k = .

 

41.  Narýsuj libovolný trojúhelník a pomocí redukčního úhlu jej zmenši v poměru k = .

 

Dělení úsečky

 

42.  Úsečku AB o délce 10 cm rozděl v poměru 5 : 3 : 4.

 

43.  Úsečku AB o délce 12 cm rozděl v poměru 3 : 1 : 7.

 

44.  Úsečky délek m = 6,3 cm, n = 7,2 cm rozděl na:


a)      čtyři       b)  pět          c) šest              shodných úseček

 

45.  Úsečku KL délky 9 cm rozděl na dvě úsečky v poměru:


a)      1 : 3          b)  3 : 4        c)  7 : 4

 

46.  Úsečku  êAB ê= 10 cm rozděl na dva díly v poměru 3 : 4

 

47.  Úsečku êAB ê= 7 cm rozděl na 6 shodných dílů.

 

48.  Úsečku MN délky 7 cm rozděl na dvě úsečky v poměru 4 : 5.

 

49.  Danou úsečku délky 7,7 cm pomocí pomocné polopřímky zmenši v poměru 2 : 3.

 

50.  Úsečku  êCD ê= 13,5 cm rozděl v poměru 2 : 3 : 4 užitím podobnosti.

 

51.  Úsečku AB délky 8 cm změň v poměru 3 : 5.

 

52.  Úsečku êAB ê= 7 cm rozděl na 6 shodných dílů.

 

53.  Úsečku êMN ê= 9 cm rozděl na 5 shodných dílů.

 

54.  Rozděl úsečku XY délky 6 cm na dvě části, jejichž velikosti jsou v poměru 2 : 3.

 

55.  Změň úsečku EF délky 6 cm v poměru 3 : 4.

 

56.  Úsečku  êKL ê= 9 cm rozděl na dva díly v poměru  2 : 3

 

 

Vyjádření poměru

 

57.  Vyjádři poměr nejmenšími celými čísly: 0,9 : 1,8 : 15

3:6:50

58.  Vyjádři poměr nejmenšími celými čísly:       3,6 : 18 : 0,6

6:30:1

59.  Vyjádři poměry stran nejmenšími celými čísly:

a) 1,5 : 0,5 : 2       b) 30 : 0,6 : 3,6     c)  4,8 : 7,2 : 12

[ 3 : 1 : 4 ]  [ 50 : 1 : 6 ]     [ 2 : 3 : 5 ]

 

 

Měřítko mapy

 

60.  Na katastrální mapě s měřítkem 1 : 1 000 je zakreslen obdélníkový pozemek o rozměrech 4,4 cm a 5,6 cm. Jaký je obsah tohoto pozemku ve čtverečních metrech ?

 

61.  Dvě místa mají na mapě s měřítkem 1 : 150 000 vzdálenost 6 cm. Jaká je jejich vzdálenost na mapě s měřítkem 1 : 100 000 ?

 

62.  Dvě místa mají na mapě s měřítkem 1 : 50 000 vzdálenost 6 cm. Jaká je jejich vzdálenost na mapě s měřítkem 1 : 75 000 ?

 

63.  Dvě místa mají na mapě s měřítkem 1 : 75 000 vzdálenost 4 cm. Jaká je jejich vzdálenost na mapě s měřítkem 1 : 50 000 ?

 

64.  Dvě místa na mapě v měřítku 1 : 50 000 mají vzdálenost 9 cm.

a) Jaká je jejich vzdálenost na mapě v měřítku 1 : 75 000 ?

b) Jaká je jejich skutečná vzdálenost ?

[ 6 cm; 4,5 km ]

 

 

Slovní úlohy

 

65.  Strom kolmý k vodorovnému zemskému povrchu vrhá stín 8,32 m. Současně metrová tyč také kolmá k vodorovnému zemskému povrchu má délku stínu 64 cm. Jak je vysoký strom ?

 

66.  V trojúhelníku ABC leží na straně AB bod M tak, že  êAM ê= 84 mm, êMB ê= 35 mm, na straně AC leží bod N tak, že  êAN ê= 60 mm, êNC ê= 25 mm. Jsou trojúhelníky AMN a ABC podobné ?

 

67.  Rozhodni, zda trojúhelníky ABC a DEF jsou podobné:

ê < BAC ê= 480,  ê < ABC ê=730         ê < EDC ê= 480,  ê< EFD ê= 590. Jestliže ano, podobnost správně zapiš.

 

68.  Zjisti, zda jsou trojúhelníky podobné:

ê< BAC ê= 740, êAB ê= 75 cm, êAC ê= 50 cm; ê< FEGê= 740, êEFê= 40 cm, êEG ê= 60 cm

 

69.  Zjisti, zda jsou trojúhelníky ABC, A´B´C´podobné;

a = 540, êAB ê= 6 cm, êAC ê=4 cm          a´= 540, êA´B´ê= 9 cm, êA´C´ ê= 6 cm.

 

70.  Je dán trojúhelník ABC o stranách a = 12 cm, b = 16 cm, c = 10 cm a trojúhelník KLM o stranách k = 15 cm, l = 18 cm, m = 24 cm. Zjisti, zda jsou trojúhelníky podobné. Jestliže ano, podobnost správně zapiš.

 

71.  Zjisti, zda jsou podobné dva pravoúhlé trojúhelníky, jestliže první má odvěsny délek 3 cm a 4 cm a druhý má přeponu délky 20 m a odvěsnu délky 12 m.

 

72.  V rovnoramenném trojúhelníku o stranách  êAB ê= 6 cm, êBC ê=  êAC ê= 5 cm je narýsována příčka MN êêAB tak, že  êCN ê=  êCM ê= 2 cm. Vypočítej výšku vc v trojúhelníku MNC.

 

73.  Obsah rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku je 18 dm2. Vypočítej délku jeho základny.

 

74.  V lichoběžníku ABCD ( AB êêCD ) je E průsečík úhlopříček. Vypočítej délky úhlopříček, jestliže  êAB ê= 126 mm, êCD ê= 105 mm, êAE ê= 72 mm, êBE ê= 66 mm. ‌‌

‌‌‌êAC ê= 132 mm, êBD ê= 121 mm

75.  Jsou podobné všechny čtverce ? Proč ?

 

76.  Jsou podobné všechny rovnoramenné trojúhelníky ? Proč ?

 

77.  Trojúhelník ABC má vnitřní úhly 550, 300. Zjisti, zda je podobný s některým z trojúhelníků, jejichž vnitřní úhly mají velikost:

a) a = 750, b = 550       b)  d = 550, e = 950        c)  j = 300, y = 950.

 

78.  Úhlopříčky lichoběžníku ABCD se protnou v bodě E. Vznikne šest trojúhelníků. Zjisti, které dva z nich jsou    a) shodné    b) podobné      c) mají týž obsah

 

79.  Zjisti, zda jsou trojúhelníky podobné:

a = 15 cm, b = 17 cm, c = 24 cm          á = 45 cm, b´= 51 cm, c´= 72 cm

 

80.  V rovnoramenném trojúhelníku ABC o základně êAB ê= 150 mm a ramenech êAC ê=  êBC ê= 240 mm je narýsována příčka  êEF ê= 60 mm rovnoběžně se základnou AB. Vypočítej vzdálenost jejích krajních bodů od hlavního vrcholu C.

êEC ê= êFC ê= 96 mm

81.  Obdélník ABCD má rozměry 3,5 m, 4,8 m. Narýsuj jej v poměru zmenšení k = 0,01. Vypočítej poměr obsahů obou obdélníků a porovnej jej s poměrem příslušných stran.

 

82.  Zjisti, zda jsou trojúhelníky podobné:

a = 2,2 m, b = 82 cm, c = 2 m              á = 55 cm, b´= 20,5 cm, c´= 5 cm

 

83.  Vypočítej výšku vlajkového stožáru, jestliže délka jeho stínu je 6,8 m. Délka stínu metrové tyče ve stejnou dobu je 80 cm.

8,5 m

84.  Pro D ABC a D A´B´C´ platí: b = b´; . Vypočítej:

a) stranu AĆ´, je-li  êAC ê= 100 cm      b)  stranu AC, je-li  êAĆ´ ê= 84 mm

 

85.  Narýsuj nepravidelný pětiúhelník a označ jeho vrcholy A´B´C´D´E´. Tento pětiúhelník představuje plánek parcely v měřítku 500 : 1. Vypočítej skutečný obvod parcely.

 

86.  Zjisti, zda jsou podobné trojúhelníky ABC a KLM. Pokud ano, urči poměr podobnosti a správně ji zapiš.

D ABC; a = 6 cm, b = 8 cm, c = 10 cm  D KLM; k = 6 cm, l = 7,5 cm, m = 4,5 cm

 

87.  Vypočítej obsah pětiúhelníku ABCDE:

DC êêAB,  êED ê= 2 cm,    êEB ê= 5 cm,     êEF ê= 1,2 cm

 

  E

   

 

     F              D                                                     C

 

 

 

 


A                                                                     B

 

 

88.  Zjisti, zda jsou podobné trojúhelníky ABC a KLM. Pokud ano, urči poměr podobnosti a správně ji zapiš.

D ABC;  a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm         D KLM;  k = 4,5 cm, l = 7,5 cm, m = 6 cm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

89.  Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC.

a)Dokaž, že trojúhelníky ABC, CBE, ACE jsou podobné.êABê= 100mm, êACê= 82 mm, g =R

b) êEB ê= 30 mm; êCE ê= 40 mm; êCB ê= 50 mm              êAE ê= ?  êAC ê= ?  êAB ê= ?

 

     C               

                                     

 

 

 

 

 


         A                          E              B

[ AE=53 1/3; AC=66 2/3; AB=83 1/3 mm ]

 

90.  Vypočítej obvod pětiúhelníku ABCDE; êDB ê= 8 cm, êEF ê= 3 cm, êFD ê= 4 cm. O správnosti se přesvědči narýsováním.  

 

E

 

     F              D                                                    C 

 

                                                                     

 

 


  A                                                                        B

[ o = 34,4 cm ]

 

91.  Střední příčka trojúhelníku spojuje středy dvou stran. Jaké má vlastnosti ?

DABC; a = 5 cm, b = 7 cm, c = 6 cm, K Î AC, L Î BC 

[ je rovnoběžná se stranou třetí a rovná se polovině její délky ]

92.  DABC; c = 100 mm, a = 45 mm, g = 900. Vypočítej vc.

[ vc = 40 mm ]

93.  Vypočítej obvod pětiúhelníku ABCDE; êAE ê=  êBE ê= 64 mm, êAB ê= 80 mm, êCD ê= 20 mm, CD  êêAB. Pětiúhelník narýsuj.

[ o = 221 mm ]

 

94.  Trojúhelníky ABC a A´B´C´jsou podobné. êAB ê= 8 cm, êBC ê= 6,4 cm, êCA ê= 9 cm, êA´B´ ê= 20 cm. Vypočítej ostatní strany.

[; êB´C´ ê= 16 cm; êC´A´ ê= 22,5 cm ]

95.  Rozhodni, zda jsou trojúhelníky ABC, DEF podobné.

a = 540 30´, g = 720  30´, d = 540 30´, j = 530 20´

nejsou

96.  V trojúhelníku ABC o stranách ôABô= 12 cm, êBC ê= 9 cm, êCA ê= 15 cm je narýsována příčka êEF ê= 4 cm rovnoběžně se stranou AB. Vypočítej vzdálenosti bodů E,F od vrcholu C.

êEC ê= 5 cm, êFC ê= 3 cm