wz

Goniometrické funkce

 

Určování hodnot goniometrických funkcí

 

1.     Urči pomocí tabulek:

 


      sin 600  = 0,866                                                       sin 280 30´  = 0,4772

      tg 500    = 1,192                                                            cos 820 40´ = 0,1276

      sina = 0,3746 a = 220                                             cos a = 0,7431     a = 420

      tg a = 1,67     a = 59010´                                        tg a = 3,776         a = 75010´

 

2.     Urči pomocí tabulek:

     


      cos 800 =       0,1736                           cos b = 0,8192          b =    350

      sin 280 40´ =   0,4797                           sin b = 0,9436          b =    70040´

      tg 600         =   1,732                             tg b    = 0,7267          b =    360

      sin 370 10´ =   0,6041                           sin b = 0,812            b = 54020´

 

3.     Urči přibližně velikost ostrého úhlu, jestliže platí:

a)     tg a = 2,941    a = 71010´                     b) cotg a = 1 054     a = 43030´

 

4.     Urči přibližně velikost ostrého úhlu, jestliže platí:

a) sin a = 0,7826     a = 510 30´                    b) cos a = 0,95         a = 160 20´

   

5.     Vyhledej v tabulce hodnoty sin a, cos a, tg a pro úhel a = 380 30´

sin a = 0,6225; cos a = 7826; tg a = 0,7954

6.     Urči tg a, jestliže platí:

a)     a = 780            tg a = 4,705                            e)  a = 300            tg a = 0,5774

b)          a = 400            tg a = 0,8391                          f)  a = 450 40´      tg a = 1,024

c)     a = 680 30´      tg a = 2,539                            g)  a = 380 20´      tg a = 0,7907

d)          a = 750 10´      tg a = 3,776                            h)  a = 470 40´      tg a = 1,098

 

7.     Urči velikost úhlu a, jestliže platí:

a)         tg a = 0,8391     a = 400                e)  tg a = 1,686         a = 590 20´

b)        tg a = 7,77         a = 820 40´          f)  tg a = 0,1703       a =   90 40´    

c)         tg a = 0,30         a = 160 40´          g)  tg a = 1,349         a = 530 30´    

d)        tg a = 0,398       a = 210 40´          h)  tg a = 40,25         a = 880 30´

 

8.     Urči sin a, jestliže platí:

a)     a = 100            sin a = 0,1736               d) a = 480 30´           sin a = 0,749

      b)          a = 200 20´      sin a = 0,3476               e) a = 800                 sin a = 0,9848

      c)     a = 170 50´      sin a = 0,3062               f) a = 120 40´            sin a = 0,2193

 

9.          Urči a, jestliže platí:

a)     sin a = 0,7431     a = 480                          d) sin a = 0,9872     a = 800 50´

b)          sin a = 0,83         a = 560 10´                    e) sin a = 0,97         a = 760

c)     sin a = 0,43         a = 250 30´                    f)  sin a = 1              a = 900

 

10.  Načrtni graf funkce y = tg a   a Î ( 00; 900 )

 

11.  Načrtni graf funkce y = cos a a Î ( 00; 900 )

 

 

Výpočet pravoúhlého trojúhelníku

 

1.     Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C. Vypočítej a o správnosti

se přesvědči narýsováním:

 

a)     a = 700, b = 20 mm,     a = ?             a = 54,94 mm

b)          b = 300,  b = 38 mm,      a = ?           a = 65,81 mm

c)     b = 250, c = 64 mm,       b = ?           b = 27,05 mm

d)          a = 500, a = 46 mm,       c = ?           c = 60,05 mm

 

2.     Je dán trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C. Vypočítej zbývající údaj, je-li dáno:

 


a)    b = 85 mm, a = 280, a = ?                 45,2 mm

b)    b = 600, c = 38 mm, a = ?                  19 mm  

c)    b = 400, c = 76 mm, b = ?                 48,85 mm

d)    a = 83 mm, c = 114 mm, a =  ?         460 43´

e)    b = 63 cm, c = 79 cm, b = ?              52053´

f)     a = 72 cm, a = 750, c = ?                  74,54 cm

g)    b = 300, a = 27 cm, b = ?                  15,59 cm

h)    a = 18 cm, b = 700, c = ?                   52,63cm


 i)    a = 320, b = 72 cm, a = ? c = ? b = ?         a = 44,99 cm; c = 84,9 cm; b = 580

j)     a = 7 cm, c = 25 cm, b = ? a = ? b = ? a = 160 20´; b = 73040´, b = 24 cm

(str.91-92)

 

3.     V pravoúhlém trojúhelníku s přeponou c je a = 10 cm, b = 9 cm. Vypočítej úhly a, b.

a = 350; b = 550 (str.159)

4.     V pravoúhlém trojúhelníku s přeponou c je a = 7 cm, b = 10 cm. Vypočítej úhly a, b.

a = 350; b = 550 (str.159)

 

5.     Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C.Vypočítej:

a)    b = 500                                              b)      a = 80 mm

b = 72 mm                                                   b = 60 mm

c = ?                                                            a = ?

c=94mm; a=53010´ (str.159)

6.     Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC  s pravým úhlem při vrcholu C. Vypočítej:

a)       a = 400                                                                  b) a = 46 mm

                        a = 70 mm                                         c = 80 mm

                        b =  ?                                                 b = ?

b = 83,4 mm; b = 54050´ (str.159)

7.     Pomocí sinu urči úhly v pravoúhlém trojúhelníku. Jedna odvěsna měří 5 cm, přepona 13 cm.

22040´; 67020´(str.87)

8.     V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je a = 380, přepona c =

18,2 cm. Vypočítej přilehlou odvěsnu AC.

14,34 cm (str.89)

9.     V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je ostrý úhel a = 350 a k němu přilehlá odvěsna b = 7,5 cm. Vypočítej přilehlou odvěsnu a.

a = 5,25 cm (str.87)

10.  V pravoúhlém trojúhelníku jsou odvěsny 23 mm a 72 mm. Vypočítej velikosti obou vnitřních úhlů pomocí tangens.

17040´; 72020´(str.89)

11.  Narýsuj pravoúhlý trojúhelník ABC tak, aby v něm platilo:

a)                                                                                 b)

12.  Sestroj trojúhelník ABC; g = 900, b = 28 mm, sin b = 0,5

b = 300, a = 600

 

 

 

Slovní úlohy

 

1.          Jak vysoký je komín tepelné elektrárny, je-li vidět jeho vrchol ze vzdálenosti d = 50 m od paty komína pod úhlem a = 570 10´?

77,49 m ( str.91)

2.          Jak vysoký je komín tepelné elektrárny, je-li vidět jeho vrchol ze vzdálenosti d = 95 m od paty komína pod úhlem a = 400 ?

79,7 m (str.87)

3.          Jak vysoká je petřínská věž, jestliže její vrchol vidíme ze vzdálenosti d = 37,5 m od paty věže pod úhlem e = 580 ?

60 m(str.91)

4.          Jak vysoký je strom, který vidíme ze vzdálenosti 20 m pod úhlem 360 50´?

15 m

5.          Rotační kužel má výšku v = 16 cm a stranu s = 20 cm. Vypočítej velikost úhlu, který svírá strana kužele s rovinou podstavy.

530 (str.91)

6.          Rotační kužel má stranu s = 15 cm a výšku v = 12 cm. Vypočítej velikost úhlu, který svírá strana kužele s rovinou podstavy.

530 7´(str.91)

7.          Vrchol věže 20,5 m  vysoké je vidět ze stanoviště S pod výškovým úhlem a = 640. Jak daleko je stanoviště od paty věže ?

10 m

8.          Bývalá lanová dráha na Petřín stoupala průměrně pod úhlem 150 a spojovala hořejší a dolejší stanici s výškovým rozdílem 106 m. Jak dlouhá byla lanová dráha ?

410 m (str.89)

9.                  Značka na horské železniční trati ukazuje, že následuje 840 m trati se stoupáním 16 0/00.

         a) V jakém úhlu stoupá trať ?       b) O kolik metrů vystoupí ?

550; o 13,44 m (str.89)

10.       Vypočítej výšku rovnoramenného trojúhelníku ABC, jehož rameno BC délky 94 mm svírá se základnou AB úhel b = 650.

v = 85,2 mm (str.159)

11.       V obdélníku svírá úhlopříčka u = AC se stranou a = AB úhel a. Vyjádři sin a, cos a, tg a pomocí délek úhlopříčky u, strany a a strany  b = BC.

(str.89)

12.       V pravoúhlém trojúhelníku je délka odvěsny a = 18 cm a délka přepony c = 27 cm. Vypočítej hodnotu sin a a pomocí tabulek urči, které velikosti ostrého úhlu a odpovídá.

sin a = 0,666; a = 41050´ (str.87)

13.       V rovnoramenném trojúhelníku ABC vyjádři sin b, cos b, tg b pomocí strany a, výšky v a poloviny základny x .

                            C

 


a

 

 

A                               B

x

 

14.       Vypočítej spotřebu špejlí na úhlopříčky draka klasického tvaru (čtyřúhelník s kolmými úhlopříčkami, podle delší z nich souměrný ), je-li délka jeho kratší strany 30 cm a kratší úhlopříčka dělí úhel sousedních stran na 450 a 65030´. Počítej s 5 % rezervy.

115,7 cm (str.90)

15.       Vypočítej poloměr kružnice vepsané pravidelnému pětiúhelníku se stranou a = 7 cm.

4,8 cm (str.92)

16.       Vypočítej poloměr kružnice opsané pravidelnému osmiúhelníku se stranou  a = 5 cm.

6,53 cm (str.92)

 

17.       Vypočítej obsah vyšrafovaného obrazce; a = 3120 40´, | AB | = 8 cm

 

 


        

 

A                   B

 

18.       Vypočítej obsah vyšrafovaného obrazce; a = 630 10´, | XY | = 6 cm

 

 

 

 


X                     Y

 

19.       V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C měří těžnice ta 6 cm a těžnice tb 9 cm. Vypočítej velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC a jeho obsah.

α = 640 55´; b = 250; S = 18 cm2 (str.5)

20.       Turista viděl vrchol věže kostela z jiného místa pod úhlem o velikosti 150. Když se ke kostelu přiblížil o 40 m, viděl vrchol jeho věže pod dvojnásobným úhlem. Jak vysoká je věž kostela a jak daleko od kostela byl turista původně ?

19,95 m; 74,58 m (str.3)

21.       V pravoúhlém trojúhelníku je dána výška k přeponě. Výška měří 8 cm. Délka odvěsny je 40 cm. Vypočítej velikost jeho vnitřních úhlů a jeho obsah.

α  = 110 30´, b = 780 30´, S = 160 cm2 (str.4)

22.       Rovnoramenný trojúhelník má základnu 14 cm a úhel při základně 690 30´. Vypočítej délku jeho ramene

20 cm (str.182)

 

23.       Kružnice opsaná pravoúhlému trojúhelníku má poloměr 10 cm. Jedna odvěsna měří 18,2 cm. Vypočítej velikosti vnitřních úhlů tohoto trojúhelníku.

65030´; 240 30´(str.89)

24.       V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je ostrý úhel a = 350 a k němu přilehlá odvěsna b = 7,5 cm. Vypočítej přilehlou odvěsnu a.

a = 5,25 cm (str.87)

25.       Vypočítej úhel b při základně rovnoramenného trojúhelníka ABC, | AB | = | AC |, jestliže platí: | BC | = a = 6 cm, va = 10 cm

b            = 730 18´ (str.159)

26.       Kosočtverec má stranu a = 17,6 cm a úhel a = 640. Vypočítej délku úhlopříček a obsah kosočtverce.

 

27.       V lichoběžníku ABCD ( AB || CD ) je | AB | = a = 10 cm, a = 540 40´,b = 440 20´ a výška v = 5 cm. Vypočítej obvod a obsah lichoběžníka. Výsledky zaokrouhli na 1 desetinné místo.

o  = 24,6 cm; S = 28,4 cm2 (str.88)

28.       Vypočítej obsah pravoúhlého lichoběžníku ABCD a lichoběžník sestroj; AB | | CD, a = 900, a = 8 cm, c = 3 cm, b = 450.

S = 27,5 cm2

29.       Vypočítej obsah rovnoramenného lichoběžníku ABCD; AB| | CD, a = 66 mm, c = 46 mm, b = 750. Lichoběžník sestroj.

S = 20,9 cm2 (str.180)

30.       Vypočítej úhel, který svírají tečny t1,t2 vedené z bodu M ke kružnici k = ( S; 84 mm ), je-li MS | = 12,6 cm

83040´(str.88)

31.       Urči nejmenší možné rozměry čtvercové desky, má-li být z ní vyříznut pravidelný osmiúhelník, jehož strana má délku 12 cm. Kolik procent činí odpad ?

29 cm; 17,23 % (str.3)

32.       Tětiva MN v kružnici, příslušná ke středovému úhlu MSN = w = 1320, má od středu S kružnice vzdálenost v = 82 mm. Vypočítej poloměr kružnice.

201,6 mm (str.89)

33.       Jak velký středový úhel přísluší v kružnici o poloměru 10 cm tětivě dlouhé 64 mm ?

370 20´(str.89)

34.       Chlapec táhne saně silou F = 6 N, která svírá s vodorovným směrem úhel 300. Jakou velikost má složka síly ve směru pohybu ?

Fp=5,2 N (str.87)

35.       Řeka má přímý tok, je široká 115 m a rychlost proudu je 2,7 . Motorový člun pluje kolmo ke směru proudu rychlostí 4,5  ( ve stojaté vodě ).

a)     Jakou velikost má úhel, který bude svírat dráha výsledného pohybu člunu se směrem    proudu ?

b)   Jakou skutečnou rychlostí pluje člun ?

c)   Jakou vzdálenost mezi břehy skutečně urazí ?

590; 5,24 ; 134 m (str.1)

36.       Na přímé trati jsou kolejnice ve stejné výši, v oblouku je vždy vnější kolejnice výše než vnitřní. Největší přípustný rozdíl je 150 mm. O kolik stupňů se odchýlí od svislé osy železniční vůz, projíždí-li takovou zatáčkou ? Rozchod kolejnic je 1 435 mm.

60 (str.88)

37.       Vahadlo rovnoramenných vah délky 30 cm se vychýlilo z rovnovážné polohy o 4,20. O kolik centimetrů poklesl koncový bod vahadla ?

1,1 cm (str.1)

38.       Akvárium má tvar kvádru s obdélníkovou podstavou o rozměrech 30 cm a 40 cm. Tělesová úhlopříčka svírá s rovinou dna úhel o velikosti 420. Vypočítej hloubku akvária.

45 cm (str.92)

39.       Vypočítej objem kvádru ABCDA´BĆ´D´s obdélníkovou podstavou;

AB | = a = 8 cm; | AC | = u = 17 cm. Tělesová úhlopříčka AC´svírá s rovinou podstavy úhel 600.

V = 3 533 cm3; (str.159)

40.       Stožár je zajištěn čtyřmi lany, jejichž kotvící kolíky tvoří vrcholy čtverce o straně 4 m. Všechna lana svírají s vodorovnou hladinou úhel 30020´. Vypočítej celkovou spotřebu lana, jestliže počítáme 5 % na úvazy.

13,78 m (str.90)

41.       Vypočítej objem pravidelného osmibokého jehlanu s podstavnou hranou délky a = 6 cm a výškou v = 9 cm.

V = 521,28 cm3 (str.79)

42.       Vypočítej povrch tělesa, které vznikne rotací kosočtverce kolem delší úhlopříčky. Kosočtverec má stranu a = 18 cm a jeden vnitřní úhel 300.

526,6 cm2 (str.92)

43.       Osový řez rotačního kužele je rovnoramenný trojúhelník se základnou c = 54 cm a přilehlým úhlem a = 47030´. Vypočítej plášť  kužele.

Spl = 3 391 cm2 (str.87)

44.       Vypočítej objem rotačního kužele, jehož osový řez má úhel při vrcholu w = 1320 a průměr podstavy d = 12 cm

 

45.       Vypočítej spotřebu plechu na zhotovení přístřešku , který je 4 m dlouhý, 2,5 m široký a 3 m vysoký. Jeho střecha má sklon 250 a přesahuje na všech stranách o 10 cm.

S = 438 446 cm2 (str.2)